[1] 生徒4人と先生3人がいる。 (1) 7人が1列に並ぶとき、生徒4人が隣り合う並び方は何通りか。 (2) 7人が1列に並ぶとき、先生どうしが隣り合わない並び方は何通りか。 (3) 7人の中から生徒2人と先生2人を選ぶ選び方は何通りか。 (4) 7人の中から3人を選ぶとき、少なくとも1人は先生である選び方は何通りか。 [2] 右の図のA地点からB地点へ行く。 (1) 最短経路は何通りか。 (2) P地点を通っていく最短経路は何通りか。 [3] 1から5までの数字が1つずつ書かれたカードが、1つの数字につき3枚ずつ、計15枚ある。このカードから同時に2枚ひくとき、 (1) 1枚だけ奇数である確率はいくらか。 (2) 少なくとも1枚が奇数である確率はいくらか。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

[1] 生徒4人と先生3人がいる。

(1) 7人が1列に並ぶとき、生徒4人が隣り合う並び方は何通りか。

(2) 7人が1列に並ぶとき、先生どうしが隣り合わない並び方は何通りか。

(3) 7人の中から生徒2人と先生2人を選ぶ選び方は何通りか。

(4) 7人の中から3人を選ぶとき、少なくとも1人は先生である選び方は何通りか。

[2] 右の図のA地点からB地点へ行く。

(1) 最短経路は何通りか。

(2) P地点を通っていく最短経路は何通りか。

[3] 1から5までの数字が1つずつ書かれたカードが、1つの数字につき3枚ずつ、計15枚ある。このカードから同時に2枚ひくとき、

(1) 1枚だけ奇数である確率はいくらか。

(2) 少なくとも1枚が奇数である確率はいくらか。

2. 解き方の手順

[1]

(1) 生徒4人をひとまとめにして1つのグループと考える。すると、このグループと先生3人の合計4つのものを並べることになるので、その並べ方は $4!$ 通り。さらに、生徒4人の中での並び方は $4!$ 通り。したがって、求める並び方は $4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$ 通り。

(2) まず生徒4人を並べる。その並べ方は $4!$ 通り。

次に、生徒の間の3箇所と両端の2箇所の計5箇所から、先生3人が入る場所を3箇所選ぶ。その選び方は ${}_5P_3$ 通り。

したがって、求める並び方は $4! \times {}_5P_3 = 24 \times (5 \times 4 \times 3) = 24 \times 60 = 1440$ 通り。

(3) 生徒2人の選び方は ${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

先生2人の選び方は ${}_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。

したがって、求める選び方は $6 \times 3 = 18$ 通り。

(4) 3人を選ぶ選び方は全部で ${}_7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。

先生が1人も選ばれない選び方は、生徒4人から3人を選ぶ選び方なので、${}_4C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$ 通り。

少なくとも1人は先生である選び方は、全体から先生が1人も選ばれない選び方を引けば良いので、$35 - 4 = 31$ 通り。

[2]

(1) A地点からB地点へ行くには、右に4回、上に3回移動する必要がある。したがって、最短経路は、7回の移動のうち右に4回移動する回を選ぶ選び方になるので、${}_7C_4 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。

(2) A地点からP地点へ行くには、右に2回、上に1回移動する必要がある。その経路数は ${}_3C_2 = 3$ 通り。

P地点からB地点へ行くには、右に2回、上に2回移動する必要がある。その経路数は ${}_4C_2 = 6$ 通り。

したがって、P地点を通っていく最短経路は $3 \times 6 = 18$ 通り。

[3]

(1) 奇数のカードは1, 3, 5のそれぞれ3枚ずつ、合計9枚。偶数のカードは2, 4のそれぞれ3枚ずつ、合計6枚。

2枚のカードの選び方は全部で ${}_{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ 通り。

1枚だけ奇数である選び方は、$9 \times 6 = 54$ 通り。

したがって、確率は $\frac{54}{105} = \frac{18}{35}$。

(2) 少なくとも1枚が奇数である確率は、全体から2枚とも偶数である確率を引けば良い。

2枚とも偶数である選び方は、${}_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

したがって、少なくとも1枚が奇数である選び方は、$105 - 15 = 90$ 通り。

確率は $\frac{90}{105} = \frac{6}{7}$。

3. 最終的な答え

[1]

(1) アイウ = 576

(2) エオカキ = 1440

(3) クケ = 18

(4) コサ = 31

[2]

(1) シスセ = 35

(2) ソタ = 18

[3]

(1) チツ/テト = 18/35

(2) ナ/ニ = 6/7