3つのサイコロを同時に投げ、出た目の最大値を$M$とする。$M = 4$であったとき、少なくとも1つのサイコロに1の目が出る条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

3つのサイコロを同時に投げ、出た目の最大値を$M$とする。$M = 4$であったとき、少なくとも1つのサイコロに1の目が出る条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、$M=4$となる確率を求める。

$M=4$となるのは、3つのサイコロの目がすべて4以下で、少なくとも1つは4である場合である。

3つのサイコロの目がすべて4以下となる確率は $(\frac{4}{6})^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$である。

3つのサイコロの目がすべて3以下となる確率は $(\frac{3}{6})^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$である。

したがって、$M=4$となる確率は $\frac{8}{27} - \frac{1}{8} = \frac{64 - 27}{216} = \frac{37}{216}$である。

次に、$M=4$であり、少なくとも1つのサイコロに1の目が出る確率を求める。

$M=4$であるとき、各サイコロの目は1, 2, 3, 4のいずれかである。

少なくとも1つのサイコロに1の目が出るということは、すべてが2, 3, 4ではないということである。

3つのサイコロの目がすべて2以上4以下となる確率は $(\frac{3}{6})^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$である。

3つのサイコロの目が2以上4以下で最大値が4となるのは、3つのサイコロの目が2, 3, 4のいずれかで、少なくとも1つは4である場合である。

3つのサイコロの目がすべて4以下で、少なくとも1つは1で、少なくとも1つは4である確率を求める。

$M=4$で、どのサイコロも1でない確率を求める。

3つのサイコロの目が2, 3, 4のいずれかで最大値が4となる確率は $(\frac{3}{6})^3 - (\frac{2}{6})^3 = (\frac{1}{2})^3 - (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{8} - \frac{1}{27} = \frac{27-8}{216} = \frac{19}{216}$である。

したがって、$M=4$で少なくとも1つは1の目が出る確率は、$\frac{37}{216} - \frac{19}{216} = \frac{18}{216} = \frac{1}{12}$である。

求める条件付き確率は、\frac{M=4かつ少なくとも1つは1が出る確率}{M=4となる確率}$であるから、

$\frac{\frac{1}{12}}{\frac{37}{216}} = \frac{1}{12} \times \frac{216}{37} = \frac{18}{37}$である。

3. 最終的な答え

$\frac{18}{37}$