5つの店A～Eにおける、商品Pと商品Qの1日の販売数が与えられています。商品Pの販売数を変量$x$、商品Qの販売数を変量$y$とし、以下の値を求めます。 (1) $x$の分散と標準偏差 (2) $x$と$y$の共分散 (3) $x$と$y$の相関係数（ただし、$\sqrt{5} = 2.2$とし、小数第2位を四捨五入） (4) $x$と$y$の相関

1. 問題の内容

5つの店A～Eにおける、商品Pと商品Qの1日の販売数が与えられています。商品Pの販売数を変量$x$、商品Qの販売数を変量$y$とし、以下の値を求めます。

(1) $x$の分散と標準偏差

(2) $x$と$y$の共分散

(3) $x$と$y$の相関係数（ただし、$\sqrt{5} = 2.2$とし、小数第2位を四捨五入）

(4) $x$と$y$の相関

2. 解き方の手順

まず、表を完成させる必要があります。

$x$の平均値$\overline{x} = \frac{25}{5} = 5$

$y$の平均値$\overline{y} = \frac{20}{5} = 4$

表を埋める：

| 店 | $x$ | $y$ | $x - \overline{x}$ | $y - \overline{y}$ | $(x - \overline{x})^2$ | $(y - \overline{y})^2$ | $(x - \overline{x})(y - \overline{y})$ |

|---|---|---|---|---|---|---|---|

| A | 5 | 3 | 0 | -1 | 0 | 1 | 0 |

| B | 4 | 3 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 |

| C | 8 | 5 | 3 | 1 | 9 | 1 | 3 |

| D | 2 | 2 | -3 | -2 | 9 | 4 | 6 |

| E | 6 | 7 | 1 | 3 | 1 | 9 | 3 |

| 計 | 25 | 20 | | | 20 | 16 | 13 |

(1) $x$の分散は、$(x - \overline{x})^2$の合計をデータの数で割ったものです。

$x$の分散 $= \frac{20}{5} = 4$

$x$の標準偏差 $= \sqrt{4} = 2$

(2) $x$と$y$の共分散は、$(x - \overline{x})(y - \overline{y})$の合計をデータの数で割ったものです。

$x$と$y$の共分散 $= \frac{13}{5} = 2.6$

(3) $x$と$y$の相関係数 $r$ は、以下の式で求められます。

r = \frac{\text{共分散}}{\text{xの標準偏差} \times \text{yの標準偏差}}

$y$の分散 $= \frac{16}{5} = 3.2$

$y$の標準偏差 $= \sqrt{3.2} = \sqrt{\frac{16}{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4}{2.2} \approx 1.82$

$r = \frac{2.6}{2 \times 1.82} = \frac{2.6}{3.64} \approx 0.714$

小数第2位を四捨五入すると、相関係数は0.7となります。

(4) 相関係数が正の値なので、$x$と$y$の間には正の相関があります。

3. 最終的な答え

(1) xの分散は 4 、標準偏差は 2 個である。

(2) xとyの共分散は 2.6 である。

(3) xとyの相関係数は 0.7 である。

(4) xとyの間には 1 (正の相関がある)。