5つの店A〜Eにおける2種類の商品P, Qの1日の販売数が与えられている。商品Pの販売数を変量 $x$, 商品Qの販売数を変量 $y$ とし、以下の問いに答える。(1) $x$ の分散と標準偏差を求める。(2) $x$ と $y$ の共分散を求める。(3) $x$ と $y$ の相関係数を求める。ただし、$\sqrt{5} = 2.2$ とし、小数第2位で四捨五入する。(4) $x$ と $y$ の間の相関を選ぶ。

1. 問題の内容

5つの店A〜Eにおける2種類の商品P, Qの1日の販売数が与えられている。商品Pの販売数を変量 $x$, 商品Qの販売数を変量 $y$ とし、以下の問いに答える。(1) $x$ の分散と標準偏差を求める。(2) $x$ と $y$ の共分散を求める。(3) $x$ と $y$ の相関係数を求める。ただし、$\sqrt{5} = 2.2$ とし、小数第2位で四捨五入する。(4) $x$ と $y$ の間の相関を選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、表を埋める。

$x$ の平均 $\bar{x} = 25 / 5 = 5$

$y$ の平均 $\bar{y} = 20 / 5 = 4$

| 店 | $x$ | $y$ | $x - \bar{x}$ | $y - \bar{y}$ | $(x - \bar{x})^2$ | $(y - \bar{y})^2$ | $(x - \bar{x})(y - \bar{y})$ |

|---|---|---|---|---|---|---|---|

| A | 5 | 3 | 0 | -1 | 0 | 1 | 0 |

| B | 4 | 3 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 |

| C | 8 | 5 | 3 | 1 | 9 | 1 | 3 |

| D | 2 | 2 | -3 | -2 | 9 | 4 | 6 |

| E | 6 | 7 | 1 | 3 | 1 | 9 | 3 |

| 計 | 25 | 20 | | | 20 | 16 | 13 |

(1) $x$ の分散は $\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{20}{5} = 4$.

標準偏差は $\sqrt{4} = 2$.

(2) $x$ と $y$ の共分散は $\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \frac{13}{5} = 2.6$.

(3) $x$ と $y$ の相関係数は

$r = \frac{\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} (y_i - \bar{y})^2}} = \frac{2.6}{\sqrt{4} \sqrt{16/5}} = \frac{2.6}{2 \cdot \frac{4}{\sqrt{5}}} = \frac{2.6}{8 / \sqrt{5}} = \frac{2.6 \sqrt{5}}{8} = \frac{2.6 \cdot 2.2}{8} = \frac{5.72}{8} = 0.715 \approx 0.72$.

(4) 相関係数は正なので、正の相関がある。

3. 最終的な答え

(1) 分散: 4, 標準偏差: 2

(2) 共分散: 2.6

(3) 相関係数: 0.72

(4) 正の相関がある: 1