実数全体の集合を全体集合とし、部分集合 $A = \{x | |x - 3| \le a\}$ と $B = \{x | 4 < x < 8\}$ について考える。ここで、$a$ は正の定数である。 (1) $A \cap B = \emptyset$ となるような $a$ の値の範囲を求める。 (2) $A \cap B$ が整数を1つだけ含むような $a$ の値の範囲を求める。 (3) $A \subset B$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

実数全体の集合を全体集合とし、部分集合 $A = \{x | |x - 3| \le a\}$ と $B = \{x | 4 < x < 8\}$ について考える。ここで、$a$ は正の定数である。

(1) $A \cap B = \emptyset$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

(2) $A \cap B$ が整数を1つだけ含むような $a$ の値の範囲を求める。

(3) $A \subset B$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B = \emptyset$ となる条件を考える。まず、$A$ を不等式を用いて表す。

$|x - 3| \le a$ は $-a \le x - 3 \le a$ と同値であるから、$3 - a \le x \le 3 + a$ となる。

よって、$A = \{x | 3 - a \le x \le 3 + a\}$ である。

$A \cap B = \emptyset$ となるのは、$3 + a \le 4$ または $3 - a \ge 8$ のときである。

$3 + a \le 4$ より $a \le 1$ である。

$3 - a \ge 8$ より $a \le -5$ となるが、$a$ は正の定数なので、これは不適である。

したがって、$0 < a \le 1$ となる。

(2) $A \cap B$ が整数を1つだけ含むような $a$ の値の範囲を求める。

$A \cap B = \{x | 4 < x \le 3 + a\}$ かつ $A \cap B = \{x | 3 - a \le x < 8\}$ なので、$A \cap B = \{x | \max(4, 3 - a) < x < \min(8, 3 + a)\}$ となる。

$A \cap B$ が整数を1つだけ含むためには、以下のいずれかの場合が考えられる。

(i) $4 < 3 + a \le 5$ のとき、$1 < a \le 2$ であり、$A \cap B = (4, 3 + a]$ であり、整数は 5 のみ。

$3 - a \le 4$ だから $a \ge -1$ を満たし、条件より $a > 0$ より、$4 < 3 + a \le 5$ は $1 < a \le 2$ と同値。このとき、$A \cap B$ に含まれる整数は 5 のみ。

(ii) $7 \le 3 - a < 8$ のとき、$-4 \le a < -5$ となるので、$a > 0$ に反する。

(iii) $7 < 3 + a < 8$ の場合、$4 < a < 5$ となる。このとき、$A \cap B = (4, 3 + a)$ であるから、含まれる整数は $5, 6, 7$ となる。

$A \cap B = (3 - a, 8)$ なので、$4 < a < 5$ のとき、$A \cap B$ に含まれる整数は 5, 6, 7。

(iv) $4 < 3 - a < 5$ のとき、$-1 < a < 1$ なので、$3 - a < 3 + a < 4$ であるから、$A \cap B = \emptyset$。

$4 < 3 + a < 5$ のとき、$1 < a < 2$ で、 $A \cap B = (4, 3 + a)$ に含まれる整数は5。

(3) $A \subset B$ となる条件を考える。

$A \subset B$ となるのは、$4 \le 3 - a$ または $3 + a \le 8$ が成立しない場合。

$3 - a \ge 4$ より $a \le -1$ なので、$a > 0$ よりこれは不適。

$3 + a \le 8$ より $a \le 5$。

よって、$4 \le 3 - a$ かつ $3 + a \le 8$ とはならない場合。

$3 - a > 4$ ならば $a < -1$ となり不適。

$3 + a < 8$ ならば $a < 5$ となる。

$A \subset B$ なら、$A$ の要素はすべて $B$ の要素でなければならない。

$3 - a > 4$ となると $a < -1$ となり、$a$ は正の定数という条件に反する。

$3 + a < 8$ となると $a < 5$ となる。

$A \subset B$ の条件は、$4 < 3 - a$ または $3 + a < 8$。

$a < -1$ または $a < 5$

$4 < 3-a$ でないかつ $3+a<8$ でない、すなわち $4 \geq 3 - a$ かつ $3+a \geq 8$であればよい

$a \geq -1$ かつ $a \geq 5$ よって$a \geq 5$.

3. 最終的な答え

(1) $0 < a \le 1$

(2) $1 < a \le 2$

(3) $a \ge 5$