数列 $\{a_n\}$ が $1, 2, 5, 10, 17, 26, \dots$ で与えられている。 (1) 一般項 $a_n$ を求める。 (2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $1, 2, 5, 10, 17, 26, \dots$ で与えられている。

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数列の階差を考える。

数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、

$b_1 = 2 - 1 = 1$

$b_2 = 5 - 2 = 3$

$b_3 = 10 - 5 = 5$

$b_4 = 17 - 10 = 7$

$b_5 = 26 - 17 = 9$

となる。

したがって、階差数列 $\{b_n\}$ は初項1、公差2の等差数列である。

よって、$b_n = 1 + (n-1) \cdot 2 = 2n - 1$ となる。

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1) = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 1 + n^2 - n - n + 1 = n^2 - 2n + 2$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 2(1) + 2 = 1$ となり、$a_1 = 1$ と一致する。

よって、$a_n = n^2 - 2n + 2$

(2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 - 2k + 2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 2$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 2n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n(n+1) + 2n$

$= \frac{n}{6} [(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 12] = \frac{n}{6} [2n^2 + 3n + 1 - 6n - 6 + 12]$

$= \frac{n}{6} [2n^2 - 3n + 7] = \frac{2n^3 - 3n^2 + 7n}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 - 2n + 2$

(2) $S_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + 7n}{6}$