与えられた式 $x^2 + (3y-4)x + (2y-3)(y-1)$ を因数分解します。

## 問題27a (1)

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + (3y-4)x + (2y-3)(y-1)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ の2次式と見て、因数分解を試みます。

定数項 $(2y-3)(y-1)$ が因数分解されているので、$(2y-3)$ と $(y-1)$ の和が $x$ の係数 $3y-4$ になることを確認します。

$(2y-3) + (y-1) = 3y - 4$ となるので、因数分解できます。

$x^2 + (3y-4)x + (2y-3)(y-1) = (x + (2y-3))(x + (y-1))$

展開して確認します。

$(x + (2y-3))(x + (y-1)) = x^2 + (y-1)x + (2y-3)x + (2y-3)(y-1)$

$= x^2 + (y-1+2y-3)x + (2y-3)(y-1)$

$= x^2 + (3y-4)x + (2y-3)(y-1)$

3. 最終的な答え

$(x + 2y - 3)(x + y - 1)$

## 問題27a (2)

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 2xy + y^2 + 3x - 3y + 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$x^2 - 2xy + y^2$ の部分が $(x-y)^2$ と因数分解できることに注目します。

そこで、与えられた式を $(x-y)^2 + 3(x-y) + 2$ と変形します。

$x-y = A$ とおくと、$A^2 + 3A + 2$ となり、これは $(A+1)(A+2)$ と因数分解できます。

$A$ を $x-y$ に戻すと、

$(x-y+1)(x-y+2)$ となります。

展開して確認します。

$(x-y+1)(x-y+2) = (x-y)^2 + 2(x-y) + (x-y) + 2$

$= x^2 - 2xy + y^2 + 3x - 3y + 2$

3. 最終的な答え

$(x-y+1)(x-y+2)$

## 問題27b (1)

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - (2y+1)x - (3y+2)(y+1)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ の2次式と見て、因数分解を試みます。

定数項 $-(3y+2)(y+1)$ に注目します。

係数 $-(2y+1)$ になるように、$(3y+2)$ と $(y+1)$ の符号を調整します。

$-(3y+2) + (y+1) = -3y - 2 + y + 1 = -2y - 1 = -(2y+1)$ となります。

したがって、

$x^2 - (2y+1)x - (3y+2)(y+1) = (x - (3y+2))(x + (y+1)) = (x - 3y - 2)(x + y + 1)$

展開して確認します。

$(x - 3y - 2)(x + y + 1) = x^2 + xy + x - 3xy - 3y^2 - 3y - 2x - 2y - 2$

$= x^2 - 2xy - x - 3y^2 - 5y - 2$

$= x^2 - (2y+1)x - (3y^2 + 5y + 2)$

$= x^2 - (2y+1)x - (3y+2)(y+1)$

3. 最終的な答え

$(x - 3y - 2)(x + y + 1)$

## 問題27b (2)

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 5xy + 6y^2 + 3x - 7y + 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$x^2 - 5xy + 6y^2$ の部分が $(x-2y)(x-3y)$ と因数分解できることに注目します。

与式を $x$ について整理します。

$x^2 + (-5y + 3)x + (6y^2 - 7y + 2)$

$6y^2 - 7y + 2 = (2y-1)(3y-2)$ と因数分解できます。

$(x-2y+1)(x-3y+2)$ を試します。

$-2y+1 -3y+2 = -5y+3$ なので

$x^2 - 5xy + 6y^2 + 3x - 7y + 2 = (x-2y+1)(x-3y+2)$

展開して確認します。

$(x-2y+1)(x-3y+2) = x^2 -3xy+2x -2xy+6y^2-4y+x-3y+2$

$= x^2 - 5xy + 6y^2 +3x-7y+2$

3. 最終的な答え

$(x-2y+1)(x-3y+2)$