三角形において、$a=2$, $b=3$, $C=120^\circ$ のとき、辺ABの長さ $c$ を求めよ。

1. 問題の内容

三角形において、$a=2$, $b=3$, $C=120^\circ$ のとき、辺ABの長さ $c$ を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、$c$ を求める。余弦定理は以下のように表される。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$

与えられた値を代入すると、

$c^2 = 2^2 + 3^2 - 2(2)(3)\cos{120^\circ}$

$\cos{120^\circ} = -\frac{1}{2}$ なので、

$c^2 = 4 + 9 - 12 \times (-\frac{1}{2})$

$c^2 = 13 + 6$

$c^2 = 19$

$c = \sqrt{19}$

$c$ は辺の長さなので正の値を取る。

3. 最終的な答え

$c = \sqrt{19}$