正五角形ABCDEにおいて、対角線ACとBDの交点をPとする。 (1) ∠APBの大きさを求める。 (2) ABの長さが1cmのとき、△ABC∽△CPBであることを利用して、対角線ACの長さを求める。

1. 問題の内容

正五角形ABCDEにおいて、対角線ACとBDの交点をPとする。

(1) ∠APBの大きさを求める。

(2) ABの長さが1cmのとき、△ABC∽△CPBであることを利用して、対角線ACの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) ∠APBの大きさ

正五角形の1つの内角は、$\frac{180(5-2)}{5} = \frac{180 \times 3}{5} = 108$度。

△ABCにおいて、∠ABC = 108度、AB=BCより、∠BAC = ∠BCA = $\frac{180-108}{2} = \frac{72}{2} = 36$度。

同様に、△ABDにおいて、∠ABD = 36度。

したがって、∠ABP = ∠ABD = 36度、∠BAP = ∠BAC = 36度。

よって、∠APB = 180 - (36+36) = 180 - 72 = 108度。

(2) 対角線ACの長さ

AB = 1cmであり、△ABC∽△CPBなので、$\frac{AB}{CP} = \frac{BC}{PB} = \frac{AC}{CB}$。

ここで、BC = AB = 1cmなので、$\frac{1}{CP} = \frac{1}{PB} = \frac{AC}{1}$。

したがって、AC = $\frac{1}{CP}$となる。

また、$\frac{BC}{PB} = \frac{AC}{CB}$より、$\frac{1}{PB} = \frac{AC}{1}$。

よって、PB = $\frac{1}{AC}$。

さらに、BD = ACより、BP+PD = AC。

四角形ABCPは、台形だから、AB=1, PC=PDである。また、∠ACB=36°、∠CBD=36°なので、∠CPB=180-2*36=108°。

ΔCPBにおいて、∠CPB = 108度、∠PCB = ∠PBC = $\frac{180-108}{2} = 36$度である。

∠ABC=108度より、∠PBA=108-36=72度。

△ABPにおいて、∠BAP=36度より、∠APB=180-36-72=72度。従って△ABPはAB=APの二等辺三角形である。

$AC = AP + PC$ であり、$AC = AB + PC$。$AC = 1+PC$

$\frac{AB}{CP} = \frac{BC}{PB} = \frac{AC}{1}$ で、$AB=BC=1$

よって、$\frac{1}{CP} = \frac{AC}{1}$ なので、$CP = \frac{1}{AC}$

$AC = 1 + \frac{1}{AC}$

$AC^2 = AC + 1$

$AC^2 - AC - 1 = 0$

$AC = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$AC > 0$ より $AC = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 108度

(2) $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ cm