三角形ABCにおいて、$b=5$, $c=2\sqrt{3}$, $A=30^\circ$ のとき、辺BCの長さ $a$ を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b=5$, $c=2\sqrt{3}$, $A=30^\circ$ のとき、辺BCの長さ $a$ を求めます。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、辺の長さ$a$を計算します。

余弦定理は、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

で与えられます。

与えられた値を代入すると、

$a^2 = 5^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$a^2 = 25 + 12 - 20\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 37 - 10 \cdot 3$

$a^2 = 37 - 30$

$a^2 = 7$

$a > 0$ より、

$a = \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{7}$