ある職場の男性職員と女性職員の比が 7:8 であり、電車通勤者とバス通勤者の比が 4:5 である。電車通勤者のうち男性職員が90人、バス通勤者のうち女性職員が126人であるとき、この職場の全職員数を求める。ただし、職員は電車通勤者とバス通勤者のみとする。

1. 問題の内容

ある職場の男性職員と女性職員の比が 7:8 であり、電車通勤者とバス通勤者の比が 4:5 である。電車通勤者のうち男性職員が90人、バス通勤者のうち女性職員が126人であるとき、この職場の全職員数を求める。ただし、職員は電車通勤者とバス通勤者のみとする。

2. 解き方の手順

まず、男性職員の人数を $7x$ 、女性職員の人数を $8x$ とおく。

また、電車通勤者の人数を $4y$ 、バス通勤者の人数を $5y$ とおく。

電車通勤者のうち男性職員が90人なので、電車通勤者のうち女性職員の人数を $a$ とすると、

$4y = 90 + a$

バス通勤者のうち女性職員が126人なので、バス通勤者のうち男性職員の人数を $b$ とすると、

$5y = 126 + b$

全職員数は男性職員と女性職員の合計なので、$7x + 8x = 15x$

また、全職員数は電車通勤者とバス通勤者の合計なので、$4y + 5y = 9y$

したがって、$15x = 9y$

$5x = 3y$

$y = \frac{5}{3} x$

$4y = 90 + a$ に $y = \frac{5}{3} x$ を代入すると、

$4(\frac{5}{3} x) = 90 + a$

$\frac{20}{3} x = 90 + a$

$5y = 126 + b$ に $y = \frac{5}{3} x$ を代入すると、

$5(\frac{5}{3} x) = 126 + b$

$\frac{25}{3} x = 126 + b$

ここで、男性職員数は $7x$ であり、電車通勤者のうち男性が90人、バス通勤者のうち男性が $b$ 人なので、$7x = 90 + b$ となる。

同様に、女性職員数は $8x$ であり、電車通勤者のうち女性が $a$ 人、バス通勤者のうち女性が126人なので、$8x = a + 126$ となる。

$b = 7x - 90$

$a = 8x - 126$

$\frac{20}{3} x = 90 + a = 90 + 8x - 126 = 8x - 36$

$20x = 24x - 108$

$4x = 108$

$x = 27$

したがって、全職員数は $15x = 15 \times 27 = 405$ 人。

3. 最終的な答え

405 人