三角形において、$a = \sqrt{2}$, $c = 5$, $B = 135^\circ$ のとき、辺ACの長さ$b$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形において、$a = \sqrt{2}$, $c = 5$, $B = 135^\circ$ のとき、辺ACの長さ$b$を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて辺の長さを求めます。余弦定理は以下の通りです。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

与えられた値を代入します。

$b^2 = (\sqrt{2})^2 + 5^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 5 \cdot \cos 135^\circ$

$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$b^2 = 2 + 25 - 10\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$b^2 = 27 + 10$

$b^2 = 37$

したがって、$b = \sqrt{37}$となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{37}$