関数 $f(x) = x^3$ について、区間 $[-1, 2]$ における平均値の定理を満たす $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3$ について、区間 $[-1, 2]$ における平均値の定理を満たす $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

平均値の定理は、$a < b$ である区間 $[a, b]$ で連続で、区間 $(a, b)$ で微分可能な関数 $f(x)$ に対して、

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に少なくとも１つ存在する、というものです。

まず、$f(x) = x^3$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$$f'(x) = 3x^2$$

次に、与えられた $a=-1$ と $b=2$ を使って、平均変化率を計算します。

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \frac{2^3 - (-1)^3}{2 - (-1)} = \frac{8 - (-1)}{3} = \frac{9}{3} = 3$$

平均値の定理より、$f'(c) = 3$ となる $c$ を求めます。

$$3c^2 = 3$$

$$c^2 = 1$$

$$c = \pm 1$$

$a < c < b$ である必要があるので、$c$ は $-1 < c < 2$ の範囲になければなりません。

$c = 1$ はこの範囲に含まれますが、$c = -1$ は含まれません。

したがって、$c = 1$ が求める値です。

3. 最終的な答え

$c = 1$