全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ と $B = \{2, 3, 5, 7\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A \cap B}$ (4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (5) $A \cap \overline{B}$ (6) $\overline{A} \cup B$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ と $B = \{2, 3, 5, 7\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A \cap B}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(5) $A \cap \overline{B}$

(6) $\overline{A} \cup B$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、集合 $A$ と $B$ の共通部分である。

$A \cap B = \{3, 5, 7\}$

(2) $A \cup B$ は、集合 $A$ と $B$ の和集合である。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$

(3) $\overline{A \cap B}$ は、集合 $A \cap B$ の補集合である。

$A \cap B = \{3, 5, 7\}$ であるから、

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B) = \{1, 2, 4, 6, 8, 9\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求める。まず、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求める。

$\overline{A} = U - A = \{2, 4, 6, 8\}$

$\overline{B} = U - B = \{1, 4, 6, 8, 9\}$

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 6, 8, 9\}$

(5) $A \cap \overline{B}$ を求める。

$\overline{B} = U - B = \{1, 4, 6, 8, 9\}$

$A \cap \overline{B} = \{1, 9\}$

(6) $\overline{A} \cup B$ を求める。

$\overline{A} = U - A = \{2, 4, 6, 8\}$

$\overline{A} \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{3, 5, 7\}$

(2) $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$

(3) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 6, 8, 9\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 6, 8, 9\}$

(5) $A \cap \overline{B} = \{1, 9\}$

(6) $\overline{A} \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$