三角形の3辺の長さが $a = \sqrt{13}$, $b = 5$, $c = 3\sqrt{2}$ であるとき, $\cos A$ の値と角 $A$ の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形の3辺の長さが $a = \sqrt{13}$, $b = 5$, $c = 3\sqrt{2}$ であるとき, $\cos A$ の値と角 $A$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて $\cos A$ の値を求める。余弦定理より、

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$

であるから、

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

与えられた値を代入すると、

$$\cos A = \frac{5^2 + (3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{25 + 18 - 13}{30\sqrt{2}} = \frac{30}{30\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる角 $A$ は、$A = 45^\circ$ である。

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$A = 45^\circ$