一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがある。 (1) $\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EF}$であることを利用して、内積$\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF}$を求めよ。 (2) $\cos \angle EDF$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがある。

(1) $\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EF}$であることを利用して、内積$\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF}$を求めよ。

(2) $\cos \angle EDF$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\overrightarrow{DE}$と$\overrightarrow{EF}$の成分を求めます。

立方体の一辺の長さは1なので、座標を設定すると、

D(0, 0, 0), E(1, 0, 0), F(1, 1, 0)となります。

したがって、

$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OD} = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)$

$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OE} = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0)$

$\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EF} = (1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0)$

内積$\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF}$を計算します。

$\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF} = (1, 0, 0) \cdot (1, 1, 0) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$

(2)

$\cos \angle EDF$を求めるために、$\overrightarrow{DE}$と$\overrightarrow{DF}$の大きさが必要です。

$|\overrightarrow{DE}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$

$|\overrightarrow{DF}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$

内積の定義より、$\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF} = |\overrightarrow{DE}| |\overrightarrow{DF}| \cos \angle EDF$

したがって、$\cos \angle EDF = \frac{\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF}}{|\overrightarrow{DE}| |\overrightarrow{DF}|} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF} = 1$

(2) $\cos \angle EDF = \frac{\sqrt{2}}{2}$