点A(5, 1)から円 $x^2 + y^2 = 13$ に2本の接線を引き、接点をP, Qとする。直線PQの方程式を求め、線分PQの長さを求めよ。

1. 問題の内容

点A(5, 1)から円 $x^2 + y^2 = 13$ に2本の接線を引き、接点をP, Qとする。直線PQの方程式を求め、線分PQの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線PQの方程式を求める。

直線PQは、点A(5, 1)から円 $x^2 + y^2 = 13$に引いた2本の接線の接点を通る直線であるから、極線の方程式を利用する。極線の方程式は、円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上にない点 $(x_1, y_1)$ から引いた接線の接点を通る直線の方程式であり、$x_1x + y_1y = r^2$ で表される。したがって、点A(5, 1)から円 $x^2 + y^2 = 13$ に引いた接線の接点を通る直線PQの方程式は、

$5x + y = 13$

すなわち、

$y = -5x + 13$

(2) 線分PQの長さを求める。

直線PQと円 $x^2 + y^2 = 13$ の交点を求めるために、直線の方程式を円の方程式に代入する。

$x^2 + (-5x + 13)^2 = 13$

$x^2 + 25x^2 - 130x + 169 = 13$

$26x^2 - 130x + 156 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

$(x - 2)(x - 3) = 0$

$x = 2, 3$

x = 2のとき、y = -5(2) + 13 = 3

x = 3のとき、y = -5(3) + 13 = -2

したがって、点P(2, 3), Q(3, -2)である。

線分PQの長さは、

$PQ = \sqrt{(3 - 2)^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$

3. 最終的な答え

直線PQの方程式: $5x + y = 13$

線分PQの長さ: $\sqrt{26}$