点 A の座標が $(-1, -5, 5)$、点 B の座標が $(2, 1, 2)$ である。点 P は xy 平面上にあり、かつ点 A, B, P は一直線上にある。点 P の座標を求める。

1. 問題の内容

点 A の座標が $(-1, -5, 5)$、点 B の座標が $(2, 1, 2)$ である。点 P は xy 平面上にあり、かつ点 A, B, P は一直線上にある。点 P の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、点 P が xy 平面上にあることから、点 P の z 座標は 0 である。したがって、点 P の座標を $(x, y, 0)$ とおく。

次に、点 A, B, P が一直線上にあることから、ベクトル AP とベクトル AB は平行である。つまり、ベクトル AP はベクトル AB の定数倍で表すことができる。

ベクトル AP は $\overrightarrow{AP} = (x - (-1), y - (-5), 0 - 5) = (x + 1, y + 5, -5)$

ベクトル AB は $\overrightarrow{AB} = (2 - (-1), 1 - (-5), 2 - 5) = (3, 6, -3)$

$\overrightarrow{AP} = k\overrightarrow{AB}$ (k は実数)が成り立つので、

$(x + 1, y + 5, -5) = k(3, 6, -3) = (3k, 6k, -3k)$

各成分を比較すると、

$x + 1 = 3k$

$y + 5 = 6k$

$-5 = -3k$

3 つ目の式より、$k = \frac{5}{3}$

これを 1 つ目の式に代入すると、$x + 1 = 3 \cdot \frac{5}{3} = 5$。よって、$x = 4$

これを 2 つ目の式に代入すると、$y + 5 = 6 \cdot \frac{5}{3} = 10$。よって、$y = 5$

したがって、点 P の座標は $(4, 5, 0)$

3. 最終的な答え

(4, 5, 0)