三角形の3辺の長さ $a=7$, $b=3$, $c=5$ が与えられたとき、$\cos A$ の値と角 $A$ の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形の3辺の長さ $a=7$, $b=3$, $c=5$ が与えられたとき、$\cos A$ の値と角 $A$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて $\cos A$ の値を求めます。余弦定理は以下の通りです。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

この式を $\cos A$ について解くと、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

与えられた値を代入します。

$\cos A = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$

したがって、$\cos A = -\frac{1}{2}$ となります。

次に、$\cos A = -\frac{1}{2}$ となる角 $A$ を求めます。

$0 < A < \pi$ の範囲で $\cos A = -\frac{1}{2}$ となる $A$ は $A = \frac{2}{3}\pi$ です。

これを度数法で表すと、

$A = \frac{2}{3} \times 180^\circ = 120^\circ$

3. 最終的な答え

$\cos A = -\frac{1}{2}$

$A = 120^\circ$