三角形の3辺の長さ $a=\sqrt{3}$, $b=\sqrt{13}$, $c=2$ が与えられたとき、$\cos B$ の値と角 $B$ を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形の3辺の長さ $a=\sqrt{3}$, $b=\sqrt{13}$, $c=2$ が与えられたとき、$\cos B$ の値と角 $B$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて $\cos B$ の値を求めます。余弦定理は、三角形の辺の長さと角度の関係を表すもので、次のように表されます。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

この式を $\cos B$ について解くと、次のようになります。

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

与えられた値を代入します。

$\cos B = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2^2 - (\sqrt{13})^2}{2\cdot \sqrt{3} \cdot 2}$

$\cos B = \frac{3 + 4 - 13}{4\sqrt{3}}$

$\cos B = \frac{-6}{4\sqrt{3}}$

$\cos B = \frac{-3}{2\sqrt{3}}$

$\cos B = \frac{-3\sqrt{3}}{2\cdot 3}$

$\cos B = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos B = -\frac{\sqrt{3}}{2}$となる $B$ の値を求めます。$0^\circ < B < 180^\circ$ の範囲で考えると、$B = 150^\circ$ です。

3. 最終的な答え

$\cos B = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$B = 150^\circ$