与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $$ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 5 & 1 & 0 & -8 \\ 2 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 5 & 7 \end{vmatrix} $$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$$$

\begin{vmatrix}

1 & -1 & 3 & 2 \\

5 & 1 & 0 & -8 \\

2 & 0 & 1 & -2 \\

0 & -2 & 5 & 7

\end{vmatrix}

$$$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの行または列に沿って展開することができます。ここでは、3行目を使って展開することにします。

$$$$

\begin{vmatrix}

1 & -1 & 3 & 2 \\

5 & 1 & 0 & -8 \\

2 & 0 & 1 & -2 \\

0 & -2 & 5 & 7

\end{vmatrix}

= 2 \cdot C_{31} + 0 \cdot C_{32} + 1 \cdot C_{33} + (-2) \cdot C_{34}

$$$$

ここで、$C_{ij}$は(i, j)要素の余因子を表します。したがって、

$$$$

= 2 \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix}

-1 & 3 & 2 \\

1 & 0 & -8 \\

-2 & 5 & 7

\end{vmatrix}

+ 1 \cdot (-1)^{3+3} \begin{vmatrix}

1 & -1 & 2 \\

5 & 1 & -8 \\

0 & -2 & 7

\end{vmatrix}

- 2 \cdot (-1)^{3+4} \begin{vmatrix}

1 & -1 & 3 \\

5 & 1 & 0 \\

0 & -2 & 5

\end{vmatrix}

$$$$

最初の3x3行列の行列式を計算します。

$$$$

\begin{vmatrix}

-1 & 3 & 2 \\

1 & 0 & -8 \\

-2 & 5 & 7

\end{vmatrix}

= -1(0 - (-40)) - 3(7 - 16) + 2(5 - 0) = -40 + 27 + 10 = -3

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2番目の3x3行列の行列式を計算します。

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\begin{vmatrix}

1 & -1 & 2 \\

5 & 1 & -8 \\

0 & -2 & 7

\end{vmatrix}

= 1(7 - 16) - (-1)(35 - 0) + 2(-10 - 0) = -9 + 35 - 20 = 6

$$$$

3番目の3x3行列の行列式を計算します。

$$$$

\begin{vmatrix}

1 & -1 & 3 \\

5 & 1 & 0 \\

0 & -2 & 5

\end{vmatrix}

= 1(5 - 0) - (-1)(25 - 0) + 3(-10 - 0) = 5 + 25 - 30 = 0

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元の行列式の値を計算します。

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= 2 \cdot 1 \cdot (-3) + 1 \cdot 1 \cdot 6 - 2 \cdot (-1) \cdot 0 = -6 + 6 + 0 = 0

$$$$

3. 最終的な答え

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