関数 $f(x) = 12x - x^3$ の極大値と極小値、およびそれぞれの極値を取る $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 12x - x^3$ の極大値と極小値、およびそれぞれの極値を取る $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = 12x - x^3$ より、

$f'(x) = 12 - 3x^2$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$12 - 3x^2 = 0$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

次に、$f''(x)$を求めます。

$f'(x) = 12 - 3x^2$ より、

$f''(x) = -6x$

$x = 2$ のとき、$f''(2) = -6(2) = -12 < 0$ なので、$x = 2$ で極大値を取ります。

$x = -2$ のとき、$f''(-2) = -6(-2) = 12 > 0$ なので、$x = -2$ で極小値を取ります。

$x = 2$ のときの極大値は、$f(2) = 12(2) - (2)^3 = 24 - 8 = 16$

$x = -2$ のときの極小値は、$f(-2) = 12(-2) - (-2)^3 = -24 - (-8) = -24 + 8 = -16$

したがって、極大値は16 ($x=2$ のとき)、極小値は-16 ($x=-2$ のとき)です。

3. 最終的な答え

極大値: 16 ($x = 2$)

極小値: -16 ($x = -2$)

回答欄の形式に合わせて答えます。

(1) 16

(2) 2

(3) -16

(4) -2