与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は次のとおりです。 $ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 5 & 1 & 0 & -8 \\ 2 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 5 & 7 \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は次のとおりです。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -1 & 3 & 2 \\

5 & 1 & 0 & -8 \\

2 & 0 & 1 & -2 \\

0 & -2 & 5 & 7

\end{bmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、余因子展開を使用します。

まず、1行目で展開します。

$$

\det(A) = 1 \cdot C_{11} + (-1) \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13} + 2 \cdot C_{14}

$$

ここで、$C_{ij}$は要素(i, j)の余因子です。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 0 & -8 \\ 0 & 1 & -2 \\ -2 & 5 & 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 7 - (-2) \cdot 5) - 0 + (-8) \cdot (0 \cdot 5 - 1 \cdot (-2)) = 17 - 16 = 1$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 5 & 0 & -8 \\ 2 & 1 & -2 \\ 0 & 5 & 7 \end{vmatrix} = -1 \cdot (5 \cdot (1 \cdot 7 - (-2) \cdot 5) - 0 + (-8) \cdot (2 \cdot 5 - 1 \cdot 0)) = -1 \cdot (5 \cdot 17 - 8 \cdot 10) = -1 \cdot (85 - 80) = -5$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 5 & 1 & -8 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot (5 \cdot (0 \cdot 7 - (-2) \cdot (-2)) - 1 \cdot (2 \cdot 7 - (-2) \cdot 0) + (-8) \cdot (2 \cdot (-2) - 0 \cdot 0)) = 5 \cdot (-4) - 1 \cdot 14 + (-8) \cdot (-4) = -20 - 14 + 32 = -2$

$C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{vmatrix} = -1 \cdot (5 \cdot (0 \cdot 5 - 1 \cdot (-2)) - 1 \cdot (2 \cdot 5 - 1 \cdot 0) + 0) = -1 \cdot (5 \cdot 2 - 1 \cdot 10) = -1 \cdot (10 - 10) = 0$

したがって、

$$

\det(A) = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-5) + 3 \cdot (-2) + 2 \cdot 0 = 1 + 5 - 6 + 0 = 0

$$

3. 最終的な答え

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