与えられた行列のランクを求める問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 5 & 1 & 0 & -8 \\ 2 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 5 & 7 \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列のランクを求める問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -1 & 3 & 2 \\

5 & 1 & 0 & -8 \\

2 & 0 & 1 & -2 \\

0 & -2 & 5 & 7

\end{bmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列のランクは、行列の線形独立な行または列の最大数です。 行列のランクを計算するために、行簡約化を実行して階段形に変形します。

1. 1行目を基準にして、2行目、3行目の1列目を0にする。

* 2行目 = 2行目 - 5 * 1行目

* 3行目 = 3行目 - 2 * 1行目

$$

\begin{bmatrix}

1 & -1 & 3 & 2 \\

0 & 6 & -15 & -18 \\

0 & 2 & -5 & -6 \\

0 & -2 & 5 & 7

\end{bmatrix}

$$

2. 2行目を基準にして、3行目、4行目の2列目を0にする。

* 3行目 = 3行目 - (1/3) * 2行目

* 4行目 = 4行目 + (1/3) * 2行目

$$

\begin{bmatrix}

1 & -1 & 3 & 2 \\

0 & 6 & -15 & -18 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$

3. 3行目と4行目を交換する

$$

\begin{bmatrix}

1 & -1 & 3 & 2 \\

0 & 6 & -15 & -18 \\

0 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

4. 行列の階段形から、0でない行の数を数える。この行列には3つの0でない行があります。

3. 最終的な答え

行列のランクは3です。