以下の連立一次方程式の解の有無を判定し、解が無限にある場合は何個のパラメータで解を表せるか答える問題です。 $ \begin{cases} 2x + y + z = 2 \\ -2x - y - z = -2 \\ 4x + 2y + 2z = 4 \end{cases} $

1. 問題の内容

以下の連立一次方程式の解の有無を判定し、解が無限にある場合は何個のパラメータで解を表せるか答える問題です。

$$

\begin{cases}

2x + y + z = 2 \\

-2x - y - z = -2 \\

4x + 2y + 2z = 4

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立方程式を行列で表現します。

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 \\

-2 & -1 & -1 \\

4 & 2 & 2

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\

y \\

z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

2 \\

-2 \\

4

\end{pmatrix}

$$

次に、拡大係数行列を作り、行基本変形を行います。

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 & 2 \\

-2 & -1 & -1 & -2 \\

4 & 2 & 2 & 4

\end{pmatrix}

$$

1行目をそのままにして、2行目に1行目を足し、3行目から1行目の2倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

この結果から、実質的に有効な方程式は $2x + y + z = 2$ のみであることがわかります。

したがって、解は無限に存在します。

$2x + y + z = 2$ を $x$ について解くと、$x = 1 - \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z$ となります。

$y = s$, $z = t$ とおくと、$x = 1 - \frac{1}{2}s - \frac{1}{2}t$ となります。

したがって、解は $(x, y, z) = (1 - \frac{1}{2}s - \frac{1}{2}t, s, t)$ と表すことができます。

ここで、$s$ と $t$ は任意の実数なので、解は2つのパラメータで表すことができます。

3. 最終的な答え

解は無限にあり、2個のパラメータで解を表すことができる。