方程式 $l: -x^3 + 3x^2 = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) 関数 $y = -x^3 + 3x^2$ の増減表を作成します。 (2) (1)の増減表を利用して、方程式 $l$ の異なる実数解の個数を求めます。

1. 問題の内容

方程式 $l: -x^3 + 3x^2 = 0$ について、以下の問いに答えます。

(1) 関数 $y = -x^3 + 3x^2$ の増減表を作成します。

(2) (1)の増減表を利用して、方程式 $l$ の異なる実数解の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = -x^3 + 3x^2$ の増減表を作成します。

まず、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = -3x^2 + 6x$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3x^2 + 6x = 0$

$-3x(x - 2) = 0$

$x = 0, 2$

次に、増減表を作成します。

| $x$ | $\cdots$ | 0 | $\cdots$ | 2 | $\cdots$ |

|-------|----------|---|----------|---|----------|

| $y'$ | $-$ | 0 | $+$ | 0 | $-$ |

| $y$ | $\searrow$ | 0 | $\nearrow$ | 4 | $\searrow$ |

$x=0$ のとき $y = -(0)^3 + 3(0)^2 = 0$

$x=2$ のとき $y = -(2)^3 + 3(2)^2 = -8 + 12 = 4$

(2) (1)の増減表を利用して、方程式 $l: -x^3 + 3x^2 = 0$ の異なる実数解の個数を求めます。

増減表から、$x \rightarrow -\infty$ のとき $y \rightarrow \infty$ で、$x=0$ で $y=0$ となり、$0 < x < 2$ で $y > 0$、$x=2$ で $y=4$ となり、$x > 2$ で $y < 4$ かつ $y \rightarrow -\infty$ となります。

グラフを描くと、$y = 0$ となる $x$ の値は $x=0$（重解）と正の値を持つ解の2つを持つことがわかります。

$-x^3 + 3x^2 = 0$

$-x^2(x-3) = 0$

$x=0, 3$

増減表から、$x=0$ のとき極小値 $y=0$ をとり、$x=2$ のとき極大値 $y=4$ をとる関数 $y = -x^3 + 3x^2$ のグラフを考えると、$y=0$ となるのは $x=0$ と $x=3$ の2点であることから、方程式 $-x^3 + 3x^2 = 0$ の実数解の個数は3個（$x=0$ は重解）となります。

3. 最終的な答え

実数解の個数: 2