$a > 0$, $b > 0$ とする。 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{9}{a})$ が $ab = \text{ア}$ のとき最小となり、その最小値は $\text{イ}$ である。$\text{ア}$と$\text{イ}$を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ とする。 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{9}{a})$ が $ab = \text{ア}$ のとき最小となり、その最小値は $\text{イ}$ である。$\text{ア}$と$\text{イ}$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{9}{a}) = ab + 9 + 1 + \frac{9}{ab} = ab + \frac{9}{ab} + 10$

ここで、$x = ab$ とおくと、$x > 0$ であり、与えられた式は $f(x) = x + \frac{9}{x} + 10$ となります。$f(x)$ の最小値を求めます。

相加相乗平均の不等式より、

$x + \frac{9}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{9}{x}} = 2\sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$

したがって、$f(x) = x + \frac{9}{x} + 10 \geq 6 + 10 = 16$

等号成立は $x = \frac{9}{x}$ のとき、つまり $x^2 = 9$ のときです。$x > 0$ なので、$x = 3$ です。

したがって、$ab = 3$ のとき、最小値は $16$ となります。

3. 最終的な答え

$ab = 3$ のとき最小値を取り、その最小値は $16$ である。

ア = 3

イ = 16