問題は、三角関数の式を簡単にしたり、三角関数の値から角度や他の三角関数の値を求めたり、2つの直線がなす角を求めたりするものです。具体的には、以下の問題があります。 * **62**: 次の式を簡単にせよ。 * (1) $(1 + \sin 45^\circ + \sin 150^\circ)(1 + \cos 135^\circ + \cos 60^\circ)$ * (2) $\cos 150^\circ \tan 30^\circ - \tan 135^\circ \sin 30^\circ$ * (3) $\sin (90^\circ - \theta) \cos (180^\circ - \theta) - \cos^2 \theta \tan^2 (180^\circ - \theta)$ * **63**: $0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、次の問に答えよ。 * (1) $\cos \theta = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin \theta$, $\tan \theta$ の値を求めよ。 * (2) $\tan \theta = -2$ のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$ の値を求めよ。 * **64**: $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、次の式を満たす $\theta$ の値を求めよ。 * (1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ * (2) $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ * (3) $\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ * **65**: 直線 $y = \sqrt{3}x$ の $y \ge 0$ の部分と直線 $y = x$ の $y \ge 0$ の部分とがなす角を求めよ。

1. 問題の内容

問題は、三角関数の式を簡単にしたり、三角関数の値から角度や他の三角関数の値を求めたり、2つの直線がなす角を求めたりするものです。具体的には、以下の問題があります。

* **62**: 次の式を簡単にせよ。

* (1) $(1 + \sin 45^\circ + \sin 150^\circ)(1 + \cos 135^\circ + \cos 60^\circ)$

* (2) $\cos 150^\circ \tan 30^\circ - \tan 135^\circ \sin 30^\circ$

* (3) $\sin (90^\circ - \theta) \cos (180^\circ - \theta) - \cos^2 \theta \tan^2 (180^\circ - \theta)$

* **63**: $0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、次の問に答えよ。

* (1) $\cos \theta = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin \theta$, $\tan \theta$ の値を求めよ。

* (2) $\tan \theta = -2$ のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$ の値を求めよ。

* **64**: $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、次の式を満たす $\theta$ の値を求めよ。

* (1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

* (2) $\cos \theta = -\frac{1}{2}$

* (3) $\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

* **65**: 直線 $y = \sqrt{3}x$ の $y \ge 0$ の部分と直線 $y = x$ の $y \ge 0$ の部分とがなす角を求めよ。

2. 解き方の手順

問題62

(1)

まず、各三角関数の値を求めます。

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

これらの値を式に代入します。

$(1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2})(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2})$

$= (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

$= (\frac{3}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2$

$= \frac{9}{4} - \frac{2}{4}$

$= \frac{7}{4}$

(2)

各三角関数の値を求めます。

$\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan 135^\circ = -1$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

これらの値を式に代入します。

$(-\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{\sqrt{3}}) - (-1)(\frac{1}{2})$

$= -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$= 0$

(3)

$\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$

$\cos (180^\circ - \theta) = - \cos \theta$

$\tan (180^\circ - \theta) = - \tan \theta$

$\cos \theta (-\cos \theta) - \cos^2 \theta (-\tan \theta)^2$

$= - \cos^2 \theta - \cos^2 \theta \tan^2 \theta$

$= - \cos^2 \theta - \cos^2 \theta \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$

$= - \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$

$= - (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$

$= -1$

問題63

(1)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$\sin^2 \theta = 1 - (\frac{3}{5})^2$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{9}{25}$

$\sin^2 \theta = \frac{16}{25}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ なので、$\sin \theta > 0$

$\sin \theta = \frac{4}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$

(2)

$\tan \theta = -2$ なので、$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -2$

$\sin \theta = -2 \cos \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より

$(-2 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$4 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$5 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$で、$\tan \theta < 0$なので、$\cos \theta < 0$

$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin \theta = -2 \cos \theta = -2 (-\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

問題64

(1)

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ なので、$\theta = 60^\circ, 120^\circ$

(2)

$\cos \theta = -\frac{1}{2}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ なので、$\theta = 120^\circ$

(3)

$\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ なので、$\theta = 150^\circ$

問題65

$y = \sqrt{3}x$ と $y = x$ がx軸の正の方向となす角をそれぞれ$\alpha$, $\beta$ とすると、

$\tan \alpha = \sqrt{3}$ より $\alpha = 60^\circ$

$\tan \beta = 1$ より $\beta = 45^\circ$

求める角は $\alpha - \beta = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$

3. 最終的な答え

6

2. (1) $\frac{7}{4}$

(2) $0$

(3) $-1$

6

3. (1) $\sin \theta = \frac{4}{5}$, $\tan \theta = \frac{4}{3}$

(2) $\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

6

4. (1) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$

(2) $\theta = 120^\circ$

(3) $\theta = 150^\circ$

6

5. $15^\circ$