問題は以下の通りです。 (1) $a=2$のとき、不等式$|3x-4| \le a$の解を求めよ。 (2) 不等式$|3x-4| \le a$を満たす整数の解が4つとなる$a$の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) $a=2$のとき、不等式$|3x-4| \le a$の解を求めよ。

(2) 不等式$|3x-4| \le a$を満たす整数の解が4つとなる$a$の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a=2$ のとき、不等式は $|3x-4| \le 2$ となります。

絶対値記号を外すと、 $-2 \le 3x-4 \le 2$ となります。

各辺に4を加えると、 $2 \le 3x \le 6$ となります。

各辺を3で割ると、 $\frac{2}{3} \le x \le 2$ となります。

(2) 不等式 $|3x-4| \le a$ を解くと、 $-a \le 3x-4 \le a$ となります。

各辺に4を加えると、 $4-a \le 3x \le 4+a$ となります。

各辺を3で割ると、 $\frac{4-a}{3} \le x \le \frac{4+a}{3}$ となります。

この不等式を満たす整数の解が4つとなるような $a$ の最小値を求めます。

まず、$a$ が小さい場合を考えます。

もし $a=1$ ならば、$\frac{3}{3} \le x \le \frac{5}{3}$ となり、$1 \le x \le 1.66...$ なので、整数の解は $x=1$ のみです。

もし $a=2$ ならば、$\frac{2}{3} \le x \le \frac{6}{3}$ となり、$0.66... \le x \le 2$ なので、整数の解は $x=1, 2$ の2つです。

もし $a=3$ ならば、$\frac{1}{3} \le x \le \frac{7}{3}$ となり、$0.33... \le x \le 2.33...$ なので、整数の解は $x=1, 2$ の2つです。

もし $a=4$ ならば、$\frac{0}{3} \le x \le \frac{8}{3}$ となり、$0 \le x \le 2.66...$ なので、整数の解は $x=0, 1, 2$ の3つです。

もし $a=5$ ならば、$\frac{-1}{3} \le x \le \frac{9}{3}$ となり、$-0.33... \le x \le 3$ なので、整数の解は $x=0, 1, 2, 3$ の4つです。

もし $a=6$ ならば、$\frac{-2}{3} \le x \le \frac{10}{3}$ となり、$-0.66... \le x \le 3.33...$ なので、整数の解は $x=0, 1, 2, 3$ の4つです。

もし $a=7$ ならば、$\frac{-3}{3} \le x \le \frac{11}{3}$ となり、$-1 \le x \le 3.66...$ なので、整数の解は $x=-1, 0, 1, 2, 3$ の5つです。

$x=0, 1, 2, 3$ の4つの整数解を持つためには、$\frac{4-a}{3} < 0$ かつ $\frac{4+a}{3} \ge 3$ である必要があります。

$\frac{4+a}{3} \ge 3$ より $4+a \ge 9$、すなわち $a \ge 5$ です。

$\frac{4-a}{3} \le -1$ より $4-a \le -3$、すなわち $a \ge 7$ であれば、$x=-1$ が解に含まれてしまいます。

したがって、$a=5$ または $a=6$ です。

$a=5$のとき、$x=0, 1, 2, 3$ が解となります。

$a=6$のとき、$x=0, 1, 2, 3$ が解となります。

$a=5$ が最小値です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3} \le x \le 2$

(2) $5$