不等式 $|5x+2|-|3x-2| \ge 2$ を満たす $x$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

不等式 $|5x+2|-|3x-2| \ge 2$ を満たす $x$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために場合分けをします。

(i) $x \ge \frac{2}{3}$ のとき

$5x+2 > 0$ かつ $3x-2 \ge 0$ より、

$|5x+2| = 5x+2$, $|3x-2| = 3x-2$

不等式は

$5x+2 - (3x-2) \ge 2$

$5x+2 - 3x + 2 \ge 2$

$2x + 4 \ge 2$

$2x \ge -2$

$x \ge -1$

$x \ge \frac{2}{3}$ と $x \ge -1$ の共通範囲は $x \ge \frac{2}{3}$。

(ii) $-\frac{2}{5} \le x < \frac{2}{3}$ のとき

$5x+2 \ge 0$ かつ $3x-2 < 0$ より、

$|5x+2| = 5x+2$, $|3x-2| = -(3x-2) = -3x+2$

不等式は

$5x+2 - (-3x+2) \ge 2$

$5x+2 + 3x - 2 \ge 2$

$8x \ge 2$

$x \ge \frac{1}{4}$

$-\frac{2}{5} \le x < \frac{2}{3}$ と $x \ge \frac{1}{4}$ の共通範囲は $\frac{1}{4} \le x < \frac{2}{3}$。

(iii) $x < -\frac{2}{5}$ のとき

$5x+2 < 0$ かつ $3x-2 < 0$ より、

$|5x+2| = -(5x+2) = -5x-2$, $|3x-2| = -(3x-2) = -3x+2$

不等式は

$-5x-2 - (-3x+2) \ge 2$

$-5x-2 + 3x - 2 \ge 2$

$-2x - 4 \ge 2$

$-2x \ge 6$

$x \le -3$

$x < -\frac{2}{5}$ と $x \le -3$ の共通範囲は $x \le -3$。

したがって、(i), (ii), (iii) より、

$x \le -3$ または $x \ge \frac{1}{4}$。

3. 最終的な答え

$x \le -3, x \ge \frac{1}{4}$