与えられた式 $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ を簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ を簡単にします。

2. 解き方の手順

$\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ を簡単にするために、根号の中の式を $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の形にすることを試みます。

$12 - 6\sqrt{3}$ を $a^2 - 2ab + b^2$ と比較すると、$-2ab = -6\sqrt{3}$ となるように $a$ と $b$ を選ぶ必要があります。つまり $ab = 3\sqrt{3}$ です。

$a$ と $b$ を探すために、$a = x\sqrt{3}$ と $b = y$ と仮定すると、 $ab = x\sqrt{3}y = 3\sqrt{3}$ なので、$xy = 3$ となります。

また、$a^2 + b^2 = 12$ である必要があるので、$3x^2 + y^2 = 12$ が成り立ちます。

$xy = 3$ から $y = \frac{3}{x}$ を得られます。これを $3x^2 + y^2 = 12$ に代入すると、

$3x^2 + (\frac{3}{x})^2 = 12$

$3x^2 + \frac{9}{x^2} = 12$

両辺に $x^2$ を掛けて、

$3x^4 + 9 = 12x^2$

$3x^4 - 12x^2 + 9 = 0$

$x^4 - 4x^2 + 3 = 0$

$(x^2 - 1)(x^2 - 3) = 0$

したがって、$x^2 = 1$ または $x^2 = 3$ となります。

$x^2 = 1$ のとき、$x = 1$ で $y = 3$ となり、$a = \sqrt{3}$、$b = 3$ となります。このとき、$a^2 + b^2 = 3 + 9 = 12$ であり、これは条件を満たします。

$x^2 = 3$ のとき、$x = \sqrt{3}$ で $y = \sqrt{3}$ となり、$a = 3$、$b = \sqrt{3}$ となります。このとき、$a^2 + b^2 = 9 + 3 = 12$ であり、これも条件を満たします。

したがって、$12 - 6\sqrt{3} = (3 - \sqrt{3})^2$ であることがわかります。

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = |3 - \sqrt{3}|$

$3 > \sqrt{3}$ であるため、$|3 - \sqrt{3}| = 3 - \sqrt{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$3 - \sqrt{3}$