$a$を自然数とするとき、不等式$|3x-4|\le a$について、以下の問いに答えます。 (1) $a=2$のとき、この不等式の解を求めます。 (2) この不等式を満たす整数の解が4つとなる$a$の最小値を求めます。

1. 問題の内容

$a$を自然数とするとき、不等式$|3x-4|\le a$について、以下の問いに答えます。

(1) $a=2$のとき、この不等式の解を求めます。

(2) この不等式を満たす整数の解が4つとなる$a$の最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a=2$のとき、不等式は$|3x-4|\le 2$となります。絶対値の不等式を解くと、

$-2 \le 3x-4 \le 2$

各辺に4を加えると、

$2 \le 3x \le 6$

各辺を3で割ると、

$\frac{2}{3} \le x \le 2$

となります。

(2) 不等式$|3x-4|\le a$を解きます。

$-a \le 3x-4 \le a$

各辺に4を加えると、

$4-a \le 3x \le 4+a$

各辺を3で割ると、

$\frac{4-a}{3} \le x \le \frac{4+a}{3}$

となります。この不等式を満たす整数の解が4つとなるような$a$の最小値を求めます。

不等式を満たす整数の解が4つであるとき、その整数を$n, n+1, n+2, n+3$とすると、

$\frac{4-a}{3} \le n$かつ$n+3 \le \frac{4+a}{3}$かつ$n+4 > \frac{4+a}{3}$となります。

$x$の範囲の幅は$\frac{4+a}{3} - \frac{4-a}{3} = \frac{2a}{3}$です。

整数解が4つであるためには、$\frac{2a}{3}$が3以上5未満である必要があります。

$\frac{4-a}{3}$と$\frac{4+a}{3}$の間の整数が4つとなる最小の$a$を調べます。

$a=1, 2, 3, 4, 5, 6$のとき、$x$の範囲は次のようになります。

$a=1: \frac{3}{3} \le x \le \frac{5}{3}$ (整数解は1)

$a=2: \frac{2}{3} \le x \le \frac{6}{3}=2$ (整数解は1, 2)

$a=3: \frac{1}{3} \le x \le \frac{7}{3}$ (整数解は1, 2)

$a=4: 0 \le x \le \frac{8}{3}$ (整数解は0, 1, 2)

$a=5: -\frac{1}{3} \le x \le 3$ (整数解は0, 1, 2, 3)

$a=6: -\frac{2}{3} \le x \le \frac{10}{3}$ (整数解は0, 1, 2, 3)

$a=7: -1 \le x \le \frac{11}{3}$ (整数解は-1, 0, 1, 2, 3)

$a=5$のとき、整数の解は0, 1, 2, 3の4つです。

$a<5$では、整数解が4つになることはありません。

したがって、$a$の最小値は5です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3} \le x \le 2$

(2) 5