次の6つの式を計算しなさい。 (1) $(-a+5b-6)^2$ (2) $(x+7y+2)(x+7y-10)$ (3) $(a+b+c)(c-b-a)$ (4) $(2a-5b-3c)(2a+5b-3c)$ (5) $(a-b+12)(a+b+12)$ (6) $(3x-5y+7)^2$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の6つの式を計算しなさい。

(1) $(-a+5b-6)^2$

(2) $(x+7y+2)(x+7y-10)$

(3) $(a+b+c)(c-b-a)$

(4) $(2a-5b-3c)(2a+5b-3c)$

(5) $(a-b+12)(a+b+12)$

(6) $(3x-5y+7)^2$

2. 解き方の手順

(1) $(-a+5b-6)^2$

これは、多項式の二乗の展開です。

$(-a+5b-6)^2 = (-a+5b-6)(-a+5b-6)$

$= (-a)^2 + (5b)^2 + (-6)^2 + 2(-a)(5b) + 2(5b)(-6) + 2(-6)(-a)$

$= a^2 + 25b^2 + 36 - 10ab - 60b + 12a$

$= a^2 + 25b^2 - 10ab + 12a - 60b + 36$

(2) $(x+7y+2)(x+7y-10)$

$A = x+7y$とおくと、

$(A+2)(A-10) = A^2 - 8A - 20$

$A = x+7y$を代入して、

$(x+7y)^2 - 8(x+7y) - 20 = x^2 + 14xy + 49y^2 - 8x - 56y - 20$

$= x^2 + 49y^2 + 14xy - 8x - 56y - 20$

(3) $(a+b+c)(c-b-a)$

$(a+b+c)(-(a+b)+c) = (c+(a+b))(c-(a+b)) = c^2 - (a+b)^2$

$= c^2 - (a^2 + 2ab + b^2) = c^2 - a^2 - 2ab - b^2$

$= -a^2 - b^2 - 2ab + c^2$

(4) $(2a-5b-3c)(2a+5b-3c)$

$A = 2a - 3c$とおくと、

$(A - 5b)(A + 5b) = A^2 - (5b)^2 = A^2 - 25b^2$

$A = 2a - 3c$を代入して、

$(2a - 3c)^2 - 25b^2 = (4a^2 - 12ac + 9c^2) - 25b^2$

$= 4a^2 - 25b^2 + 9c^2 - 12ac$

(5) $(a-b+12)(a+b+12)$

$A = a+12$とおくと、

$(A-b)(A+b) = A^2 - b^2$

$A = a+12$を代入して、

$(a+12)^2 - b^2 = a^2 + 24a + 144 - b^2$

$= a^2 - b^2 + 24a + 144$

(6) $(3x-5y+7)^2$

$(3x-5y+7)(3x-5y+7) = (3x)^2 + (-5y)^2 + 7^2 + 2(3x)(-5y) + 2(-5y)(7) + 2(7)(3x)$

$= 9x^2 + 25y^2 + 49 - 30xy - 70y + 42x$

$= 9x^2 + 25y^2 - 30xy + 42x - 70y + 49$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 + 25b^2 - 10ab + 12a - 60b + 36$

(2) $x^2 + 49y^2 + 14xy - 8x - 56y - 20$

(3) $-a^2 - b^2 - 2ab + c^2$

(4) $4a^2 - 25b^2 + 9c^2 - 12ac$

(5) $a^2 - b^2 + 24a + 144$

(6) $9x^2 + 25y^2 - 30xy + 42x - 70y + 49$