3つのベクトル $\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ -5 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -14 \\ -12 \\ -9 \end{bmatrix}$ が線形独立かどうかを判定し、線形独立でない場合は、すべての係数がゼロではないような係数を求め、線形独立の場合は、すべての係数がゼロになるような係数を求める問題です。

1. 問題の内容

3つのベクトル $\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ -5 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -14 \\ -12 \\ -9 \end{bmatrix}$ が線形独立かどうかを判定し、線形独立でない場合は、すべての係数がゼロではないような係数を求め、線形独立の場合は、すべての係数がゼロになるような係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

3つのベクトルを $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$, $\vec{v_3}$ とします。線形独立かどうかを調べるために、次の線形結合を考えます。

$c_1 \vec{v_1} + c_2 \vec{v_2} + c_3 \vec{v_3} = \vec{0}$

これを成分ごとに書くと、次の連立方程式が得られます。

$-2c_1 - c_2 - 14c_3 = 0$

$0c_1 - 3c_2 - 12c_3 = 0$

$-5c_1 + 4c_2 - 9c_3 = 0$

2番目の式から、$c_2 = -4c_3$ が得られます。

これを最初の式に代入すると、

$-2c_1 - (-4c_3) - 14c_3 = 0$

$-2c_1 - 10c_3 = 0$

$c_1 = -5c_3$

これを3番目の式に代入すると、

$-5(-5c_3) + 4(-4c_3) - 9c_3 = 0$

$25c_3 - 16c_3 - 9c_3 = 0$

$0 = 0$

これは $c_3$ の値によらず成立します。したがって、この連立方程式には非自明な解が存在し、ベクトルは線形従属です。

例えば、$c_3 = 1$ とすると、$c_1 = -5$、$c_2 = -4$ となります。

$-5 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ -5 \end{bmatrix} -4 \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 4 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} -14 \\ -12 \\ -9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10+4-14 \\ 0+12-12 \\ 25-16-9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

ベクトルは線形従属であり、$c_1 = -5$, $c_2 = -4$, $c_3 = 1$ です。