$W_1 = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$ が $\mathbb{R}^3$ の基底かどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

$W_1 = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$ が $\mathbb{R}^3$ の基底かどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

$\mathbb{R}^3$ の基底となるためには、与えられたベクトルの集合が線形独立であり、かつ $\mathbb{R}^3$ を張る必要があります。$\mathbb{R}^3$ の次元は3なので、3つの線形独立なベクトルがあれば、それらは $\mathbb{R}^3$ の基底となります。

3つのベクトルが線形独立かどうかを調べるために、これらのベクトルを列ベクトルとする行列を作り、その行列式を計算します。行列式が0でなければ、ベクトルは線形独立です。

行列 $A$ を次のように定義します。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

行列式は以下の通りです。

$\det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - 1 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + 1 \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 0) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 1$

$\det(A) = 1 \neq 0$ であるため、3つのベクトルは線形独立です。したがって、$W_1$ は $\mathbb{R}^3$ の基底です。

3. 最終的な答え

C. $W_1$ is a basis.