不等式 $2ax - 1 \le 4x$ の解を、$a$ の値の範囲によって求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $2ax - 1 \le 4x$ の解を、$a$ の値の範囲によって求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形する。

$2ax - 1 \le 4x$

$2ax - 4x \le 1$

$(2a - 4)x \le 1$

$2(a-2)x \le 1$

次に、$a$ の値の範囲によって場合分けする。

(1) $a > 2$ のとき、$a-2 > 0$ なので、不等式の両辺を $2(a-2)$ で割ると、

$x \le \frac{1}{2(a-2)}$

(2) $a = 2$ のとき、$2(a-2) = 0$ なので、不等式は

$0x \le 1$

となり、これは常に成り立つ。したがって、解はすべての実数。

(3) $a < 2$ のとき、$a-2 < 0$ なので、不等式の両辺を $2(a-2)$ で割ると、不等号の向きが変わって、

$x \ge \frac{1}{2(a-2)}$

3. 最終的な答え

$a > 2$ のとき、$x \le \frac{1}{2(a-2)}$

$a = 2$ のとき、すべての実数

$a < 2$ のとき、$x \ge \frac{1}{2(a-2)}$