$a$ を定数とするとき、$x \ge a$ を満たすすべての $x$ が不等式 $a(x+3) \ge a^2 + 1$ を満たすような $a$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とするとき、$x \ge a$ を満たすすべての $x$ が不等式 $a(x+3) \ge a^2 + 1$ を満たすような $a$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

$x \ge a$ を満たすすべての $x$ が $a(x+3) \ge a^2 + 1$ を満たすということは、$x=a$ のときに不等式 $a(x+3) \ge a^2 + 1$ が成り立つことが必要十分条件である。

したがって、$x=a$ を代入して、

$a(a+3) \ge a^2 + 1$

$a^2 + 3a \ge a^2 + 1$

$3a \ge 1$

$a \ge \frac{1}{3}$

よって、$a \ge \frac{1}{3}$ のとき、$x \ge a$ を満たすすべての $x$ に対して $a(x+3) \ge a^2+1$ が成り立つことを示す。

$a \ge \frac{1}{3}$ のとき、$x \ge a$ であるから、

$x+3 \ge a+3$

ここで、$a \ge \frac{1}{3}$ より、$a>0$ なので、$a(x+3) \ge a(a+3)$

$a(x+3) \ge a^2 + 3a$

$a(x+3) \ge a^2 + 1 + (3a-1)$

ここで、$a \ge \frac{1}{3}$ より $3a-1 \ge 0$ なので、$a(x+3) \ge a^2+1$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a \ge \frac{1}{3}$