与えられた連立方程式 $Ma = Mg - T$ $ma = T - mg$ を、定数 $m, M, g$ を用いて、$T$ と $a$ について解く。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式

$Ma = Mg - T$

$ma = T - mg$

を、定数 $m, M, g$ を用いて、$T$ と $a$ について解く。

2. 解き方の手順

まず、2つの式を足し合わせて $T$ を消去します。

$Ma + ma = Mg - T + T - mg$

$Ma + ma = Mg - mg$

$(M + m)a = (M - m)g$

したがって、$a$ は

$a = \frac{M - m}{M + m}g$

と表されます。

次に、$a$ の値をいずれかの式に代入して $T$ を求めます。ここでは2番目の式 $ma = T - mg$ に代入します。

$m \cdot \frac{M - m}{M + m}g = T - mg$

$T = mg + m \cdot \frac{M - m}{M + m}g$

$T = mg (1 + \frac{M - m}{M + m})$

$T = mg (\frac{M + m + M - m}{M + m})$

$T = mg (\frac{2M}{M + m})$

$T = \frac{2Mm}{M + m}g$

3. 最終的な答え

$a = \frac{M - m}{M + m}g$

$T = \frac{2Mm}{M + m}g$