三角形ABCにおいて、AB=8, BC=7, CA=5である。このとき、cos∠BCA, sin∠BCA, 外接円の半径を求め、さらに直線ABに平行な直線lが、三角形ABCの外接円の点Cを含まない方の弧ABと2点D, Eで交わっており、AD=3であるとき、cos∠ADBとBDを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=8, BC=7, CA=5である。このとき、cos∠BCA, sin∠BCA, 外接円の半径を求め、さらに直線ABに平行な直線lが、三角形ABCの外接円の点Cを含まない方の弧ABと2点D, Eで交わっており、AD=3であるとき、cos∠ADBとBDを求める。

2. 解き方の手順

(1) cos∠BCAを求める。余弦定理より、

$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \cdot BC \cdot CA \cdot cos∠BCA$

$8^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot cos∠BCA$

$64 = 49 + 25 - 70 \cdot cos∠BCA$

$70 \cdot cos∠BCA = 74 - 64 = 10$

$cos∠BCA = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$

(2) sin∠BCAを求める。三角比の相互関係より、

$sin^2∠BCA + cos^2∠BCA = 1$

$sin^2∠BCA = 1 - cos^2∠BCA = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$

$sin∠BCA = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

(3) 外接円の半径Rを求める。正弦定理より、

$\frac{AB}{sin∠BCA} = 2R$

$2R = \frac{8}{\frac{4\sqrt{3}}{7}} = \frac{8 \cdot 7}{4\sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

$R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(4) cos∠ADBを求める。円周角の定理より、∠ADB = ∠ACB。したがって、

$cos∠ADB = cos∠ACB = \frac{1}{7}$

(5) BDを求める。AD = 3。方べきの定理から、AD * AE = AB * AF、ここで AF は AB の延長線が外接円と交わる点である。これは使えない。

∠ADB = ∠ACB なので、三角形 ADB と三角形 ACB は相似ではない。

AD = 3, AB = 8, cos∠ADB = 1/7。余弦定理より、

$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot cos∠ADB$

$8^2 = 3^2 + BD^2 - 2 \cdot 3 \cdot BD \cdot \frac{1}{7}$

$64 = 9 + BD^2 - \frac{6}{7}BD$

$BD^2 - \frac{6}{7}BD - 55 = 0$

$7BD^2 - 6BD - 385 = 0$

$BD = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 7 \cdot (-385)}}{14} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 10780}}{14} = \frac{6 \pm \sqrt{10816}}{14} = \frac{6 \pm 104}{14}$

$BD = \frac{110}{14} = \frac{55}{7}$ または $BD = \frac{-98}{14} = -7$

BD > 0 より、 $BD = \frac{55}{7}$

3. 最終的な答え

cos∠BCA = 1/7

sin∠BCA = $\frac{4\sqrt{3}}{7}$

外接円の半径 = $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

cos∠ADB = 1/7

BD = 55/7