三角形ABCにおいて、$AB=8$, $BC=7$, $CA=5$ とする。 (1) $\cos \angle BCA$、$\sin \angle BCA$、三角形ABCの外接円の半径を求める。 (2) 直線ABと平行な直線lが、三角形ABCの外接円の点Cを含まない方の弧ABと2点D,Eで交わっている。ただし、AD=3である。このとき、$\cos \angle ADB$、BDを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=8$, $BC=7$, $CA=5$ とする。

(1) $\cos \angle BCA$、$\sin \angle BCA$、三角形ABCの外接円の半径を求める。

(2) 直線ABと平行な直線lが、三角形ABCの外接円の点Cを含まない方の弧ABと2点D,Eで交わっている。ただし、AD=3である。このとき、$\cos \angle ADB$、BDを求める。

2. 解き方の手順

(1)

余弦定理より、

$\cos \angle BCA = \frac{CA^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot CA \cdot BC} = \frac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 64}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$

$\sin^2 \angle BCA + \cos^2 \angle BCA = 1$ より、

$\sin^2 \angle BCA = 1 - \cos^2 \angle BCA = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$

$\sin \angle BCA = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

正弦定理より、外接円の半径Rは、

$\frac{AB}{\sin \angle BCA} = 2R$

$R = \frac{AB}{2 \sin \angle BCA} = \frac{8}{2 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}} = \frac{8 \cdot 7}{8\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(2)

円周角の定理より、$\angle ADB = \angle ACB$ または $\angle ADB + \angle ACB = 180^{\circ}$

Dは弧ABのうちCを含まない方にあるので、$\angle ADB + \angle ACB = 180^{\circ}$

$\cos \angle ADB = \cos (180^{\circ} - \angle ACB) = - \cos \angle ACB = - \frac{1}{7}$

$\triangle ADB$ において、余弦定理より、

$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos \angle ADB$

$8^2 = 3^2 + BD^2 - 2 \cdot 3 \cdot BD \cdot (-\frac{1}{7})$

$64 = 9 + BD^2 + \frac{6}{7} BD$

$BD^2 + \frac{6}{7} BD - 55 = 0$

$7BD^2 + 6BD - 385 = 0$

$BD = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 7 \cdot (-385)}}{2 \cdot 7} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 10780}}{14} = \frac{-6 \pm \sqrt{10816}}{14} = \frac{-6 \pm 104}{14}$

$BD = \frac{98}{14} = 7$ または $BD = \frac{-110}{14} = -\frac{55}{7}$

$BD > 0$ より $BD = 7$

3. 最終的な答え

$\cos \angle BCA = \frac{1}{7}$

$\sin \angle BCA = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

外接円の半径 = $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

$\cos \angle ADB = -\frac{1}{7}$

$BD = 7$