問題は2つの部分に分かれています。 (1) 底面の半径が4cm、母線の長さが6cmの円錐の展開図において、側面のおうぎ形の中心角を求める問題です。 (2) その円錐の表面積を求める問題です。 (3) 正四角錐の投影図が与えられており、底面の正方形の一辺が8cm、立面図の二等辺三角形の高さが12cmのとき、底面積と体積を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つの部分に分かれています。

(1) 底面の半径が4cm、母線の長さが6cmの円錐の展開図において、側面のおうぎ形の中心角を求める問題です。

(2) その円錐の表面積を求める問題です。

(3) 正四角錐の投影図が与えられており、底面の正方形の一辺が8cm、立面図の二等辺三角形の高さが12cmのとき、底面積と体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 円錐の側面のおうぎ形の中心角を求めます。

円錐の底面の円周は $2 \pi \times 4 = 8 \pi$ cmです。

おうぎ形の弧の長さは底面の円周に等しいので、$8 \pi$ cmです。

おうぎ形の半径は円錐の母線なので、6cmです。

おうぎ形の円周は $2 \pi \times 6 = 12 \pi$ cmです。

中心角を$x$とすると、$\frac{x}{360} \times 12\pi = 8\pi$が成り立ちます。

$12x = 8 \times 360$

$x = \frac{8 \times 360}{12} = 8 \times 30 = 240$

(2) 円錐の表面積を求めます。

底面積は $\pi \times 4^2 = 16 \pi$ cm$^2$です。

側面積は $\frac{240}{360} \times \pi \times 6^2 = \frac{2}{3} \times 36 \pi = 24 \pi$ cm$^2$です。

表面積は $16 \pi + 24 \pi = 40 \pi$ cm$^2$です。

(3) 正四角錐の底面積と体積を求めます。

底面積は $8 \times 8 = 64$ cm$^2$です。

体積は $\frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ} = \frac{1}{3} \times 64 \times 12 = 64 \times 4 = 256$ cm$^3$です。

3. 最終的な答え

(1) 240

(2) 40

(3) 底面積: 64 cm$^2$, 体積: 256 cm$^3$