問題は以下の2つの直線の方程式を、ベクトル方程式または比例式の形で求めることです。 (1) 原点と点 $P(4,-3,5)$ を通る直線 (2) 2点 $P(3,2,-1)$、$Q(-2,4,7)$ を通る直線

1. 問題の内容

問題は以下の2つの直線の方程式を、ベクトル方程式または比例式の形で求めることです。

(1) 原点と点 $P(4,-3,5)$ を通る直線

(2) 2点 $P(3,2,-1)$、$Q(-2,4,7)$ を通る直線

2. 解き方の手順

(1) 原点と点 $P(4,-3,5)$ を通る直線

この直線上の任意の点を $(x, y, z)$ とすると、この点はベクトル $\vec{OP}$ の実数倍で表すことができます。つまり、

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}$$

ここで、$t$ は実数です。

比例式で表すと、

$$\frac{x}{4} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{5}$$

となります。

(2) 2点 $P(3,2,-1)$、$Q(-2,4,7)$ を通る直線

この直線上の任意の点を $(x, y, z)$ とすると、この点は点 $P$ を通り、ベクトル $\vec{PQ}$ に平行な直線上にあります。

まず、ベクトル $\vec{PQ}$ を求めます。

$$\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}$$

したがって、直線上の任意の点は

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}$$

ここで、$t$ は実数です。

比例式で表すと、

$$\frac{x-3}{-5} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+1}{8}$$

となります。

3. 最終的な答え

(1) ベクトル方程式: $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}$

比例式: $\frac{x}{4} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{5}$

(2) ベクトル方程式: $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}$

比例式: $\frac{x-3}{-5} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+1}{8}$