$\mathbb{R}^3$空間内で、与えられた3点を通る平面の式を、$x, y, z$の1次式の形で求める問題です。 (1) 3点 $A(1,4,2)$, $B(3,-2,0)$, $C(2,1,3)$ を通る平面の式を求めます。 (2) 3点 $O(0,0,0)$, $A(1,2,3)$, $B(-2,1,-1)$ を通る平面の式を求めます。

1. 問題の内容

$\mathbb{R}^3$空間内で、与えられた3点を通る平面の式を、$x, y, z$の1次式の形で求める問題です。

(1) 3点 $A(1,4,2)$, $B(3,-2,0)$, $C(2,1,3)$ を通る平面の式を求めます。

(2) 3点 $O(0,0,0)$, $A(1,2,3)$, $B(-2,1,-1)$ を通る平面の式を求めます。

2. 解き方の手順

平面の式は一般に $ax + by + cz + d = 0$ で表されます。3点がこの平面上にあるという条件から、$a, b, c, d$に関する連立方程式を立てて解きます。

(1) 3点 $A(1,4,2)$, $B(3,-2,0)$, $C(2,1,3)$ を通る平面の場合：

平面の式を $ax + by + cz + d = 0$ とおきます。3点を通ることから、以下の式が成り立ちます。

\begin{align*}

a + 4b + 2c + d &= 0 \\

3a - 2b + 0c + d &= 0 \\

2a + b + 3c + d &= 0

\end{align*}

これらの式から $d$ を消去します。2番目の式から最初の式を引くと $2a - 6b - 2c = 0$ となり、$a - 3b - c = 0$ (式1) が得られます。

3番目の式から最初の式を引くと $a - 3b + c = 0$ (式2) が得られます。

式1と式2を足すと $2a - 6b = 0$ となり、$a = 3b$ が得られます。

式1に $a = 3b$ を代入すると $3b - 3b - c = 0$ となり、$c = 0$ が得られます。

最初の式 $a + 4b + 2c + d = 0$ に $a = 3b$ と $c = 0$ を代入すると、$3b + 4b + 0 + d = 0$ となり、$7b + d = 0$ から $d = -7b$ が得られます。

$b$ を任意の値(例えば1)にとると、$a = 3$, $c = 0$, $d = -7$ となります。

したがって、平面の式は $3x + y - 7 = 0$ となります。

(2) 3点 $O(0,0,0)$, $A(1,2,3)$, $B(-2,1,-1)$ を通る平面の場合：

平面の式を $ax + by + cz + d = 0$ とおきます。原点を通ることから、$d = 0$ となります。

したがって、平面の式は $ax + by + cz = 0$ となります。2点を通ることから、以下の式が成り立ちます。

\begin{align*}

a + 2b + 3c &= 0 \\

-2a + b - c &= 0

\end{align*}

2番目の式から $b = 2a + c$ が得られます。これを最初の式に代入すると、$a + 2(2a + c) + 3c = 0$ となり、$5a + 5c = 0$ から $a = -c$ が得られます。

したがって、$b = 2(-c) + c = -c$ が得られます。

$c$ を任意の値(例えば1)にとると、$a = -1$, $b = -1$ となります。

したがって、平面の式は $-x - y + z = 0$ となり、 $x + y - z = 0$ と表すことができます。

3. 最終的な答え

(1) $3x + y - 7 = 0$

(2) $x + y - z = 0$