$\log_{\sqrt{1-x^2}} x$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\log_{\sqrt{1-x^2}} x$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の底を変換する公式を使います。

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

この公式を利用して、与えられた対数の底を $e$ に変換します（自然対数）。すると、

$\log_{\sqrt{1-x^2}} x = \frac{\log x}{\log \sqrt{1-x^2}}$

次に、$\sqrt{1-x^2}$ を $(1-x^2)^{\frac{1}{2}}$ と書き換えて、対数の性質 $\log a^b = b \log a$ を利用すると、

$\log \sqrt{1-x^2} = \log (1-x^2)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log (1-x^2)$

したがって、

$\frac{\log x}{\log \sqrt{1-x^2}} = \frac{\log x}{\frac{1}{2} \log (1-x^2)} = \frac{2 \log x}{\log (1-x^2)}$

これ以上簡単にすることは難しいと思われます。問題文に具体的な指示がないため、ここまでを解答とします。ただし、$1-x^2>0$ かつ $x>0$ が前提となります。

3. 最終的な答え

$\frac{2 \log x}{\log (1-x^2)}$