与えられた微分方程式を解く問題です。 微分方程式は $\frac{dx}{dt} = \frac{x}{t} + e^{\frac{x}{t}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解く問題です。

微分方程式は

$\frac{dx}{dt} = \frac{x}{t} + e^{\frac{x}{t}}$

です。

2. 解き方の手順

この微分方程式は同次形なので、変数変換 $u = \frac{x}{t}$ を行います。すると、$x = ut$ となり、$\frac{dx}{dt} = u + t\frac{du}{dt}$ となります。これを元の微分方程式に代入すると、

$u + t\frac{du}{dt} = u + e^u$

となります。したがって、

$t\frac{du}{dt} = e^u$

となります。変数を分離すると、

$\frac{du}{e^u} = \frac{dt}{t}$

つまり

$e^{-u} du = \frac{dt}{t}$

となります。両辺を積分すると、

$\int e^{-u} du = \int \frac{dt}{t}$

$-e^{-u} = \ln|t| + C$

$e^{-u} = -\ln|t| - C$

$e^{-\frac{x}{t}} = -\ln|t| - C$

$-\frac{x}{t} = \ln(-\ln|t| - C)$

$x = -t\ln(-\ln|t| - C)$

となります。ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$x = -t\ln(-\ln|t| - C)$