次の極限を求めます。 $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n$

2. 解き方の手順

この極限は、自然対数の底 $e$ の定義と密接に関連しています。 $e$ の定義は次の通りです。

$e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$

ここで、$y = \frac{n}{x}$ と置くと、$n = xy$ となります。$n \to \infty$ のとき、$x$ は定数なので、$y \to \infty$ となります。

したがって、与えられた極限は次のように書き換えることができます。

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = \lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^{xy}$

この式をさらに変形すると、次のようになります。

$\lim_{y \to \infty} ((1 + \frac{1}{y})^y)^x = (\lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^y)^x$

ここで、$e$ の定義より、$\lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^y = e$ であることがわかります。

したがって、極限は $e^x$ となります。

3. 最終的な答え

$e^x$