数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{4a_n + 5}{3a_n + 4}$ ($n \ge 1$) で定義されるとき、この数列 $\{a_n\}$ が収束することを示し、その極限値を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{4a_n + 5}{3a_n + 4}$ ($n \ge 1$) で定義されるとき、この数列 $\{a_n\}$ が収束することを示し、その極限値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、数列が収束すると仮定して、極限値を求める。$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ とすると、$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \alpha$ であるから、漸化式より

$\alpha = \frac{4\alpha + 5}{3\alpha + 4}$

$3\alpha^2 + 4\alpha = 4\alpha + 5$

$3\alpha^2 = 5$

$\alpha^2 = \frac{5}{3}$

$\alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{3}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$

$a_1 = 1 > 0$ であり、漸化式から $a_n > 0$ ならば $a_{n+1} > 0$ であるので、すべての $n$ に対して $a_n > 0$ である。よって、$\alpha = \frac{\sqrt{15}}{3}$ であることが予想される。

(2) 次に、数列が実際に $\frac{\sqrt{15}}{3}$ に収束することを示す。$a_{n+1} - \frac{\sqrt{15}}{3} = \frac{4a_n + 5}{3a_n + 4} - \frac{\sqrt{15}}{3} = \frac{3(4a_n + 5) - \sqrt{15}(3a_n + 4)}{3(3a_n + 4)} = \frac{(12 - 3\sqrt{15})a_n + (15 - 4\sqrt{15})}{3(3a_n + 4)} = \frac{3(4-\sqrt{15})a_n + (15 - 4\sqrt{15})}{3(3a_n + 4)} = \frac{(4-\sqrt{15})a_n + (5 - \frac{4\sqrt{15}}{3})}{3a_n + 4}$

$a_{n+1} - \frac{\sqrt{15}}{3} = \frac{4a_n + 5}{3a_n + 4} - \frac{\sqrt{15}}{3}$

$= \frac{12 a_n + 15 - 3 \sqrt{15} a_n - 4 \sqrt{15}}{3 (3a_n + 4)}$

$= \frac{3(4 - \sqrt{15}) a_n + 15 - 4 \sqrt{15}}{3 (3a_n + 4)}$

ここで、$a_{n+1} + \frac{\sqrt{15}}{3} = \frac{4a_n + 5}{3a_n + 4} + \frac{\sqrt{15}}{3}$

$= \frac{12 a_n + 15 + 3 \sqrt{15} a_n + 4 \sqrt{15}}{3 (3a_n + 4)}$

$= \frac{3 (4 + \sqrt{15}) a_n + 15 + 4 \sqrt{15}}{3 (3a_n + 4)}$

$a_{n+1} - \frac{\sqrt{15}}{3} = \frac{4a_n+5}{3a_n+4} - \sqrt{\frac{5}{3}} = \frac{4a_n+5-\sqrt{\frac{5}{3}}(3a_n+4)}{3a_n+4} = \frac{(4-3\sqrt{\frac{5}{3}})a_n + (5-4\sqrt{\frac{5}{3}})}{3a_n+4} = \frac{(4-\sqrt{15})a_n + (5-\frac{4\sqrt{15}}{3})}{3a_n+4}$.

$a_{n+1}-\sqrt{\frac{5}{3}} = \frac{(4-\sqrt{15})(a_n-\sqrt{\frac{5}{3}})}{3a_n+4}$.

絶対値を取ると $|a_{n+1}-\sqrt{\frac{5}{3}}| = |\frac{4-\sqrt{15}}{3a_n+4}| |a_n-\sqrt{\frac{5}{3}}|$. $a_n \ge 1 > 0$, $|\frac{4-\sqrt{15}}{3a_n+4}| < |\frac{4-\sqrt{15}}{7}| = \frac{\sqrt{15}-4}{7}$.

$|4-\sqrt{15}| < 1$, よって数列は $\frac{\sqrt{15}}{3}$ に収束する.

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{15}}{3}$