中心が点 $(2, 5)$ で、円 $x^2 + y^2 - 2y - 4 = 0$ に接する円の方程式を求める。

1. 問題の内容

中心が点 $(2, 5)$ で、円 $x^2 + y^2 - 2y - 4 = 0$ に接する円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた円の方程式を標準形に変形する。

$x^2 + y^2 - 2y - 4 = 0$ を変形すると、

$x^2 + (y^2 - 2y) - 4 = 0$

$x^2 + (y^2 - 2y + 1) - 1 - 4 = 0$

$x^2 + (y - 1)^2 = 5$

したがって、この円の中心は $(0, 1)$ で、半径は $\sqrt{5}$ である。

次に、求める円の中心 $(2, 5)$ と与えられた円の中心 $(0, 1)$ の距離 $d$ を計算する。

$d = \sqrt{(2 - 0)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

求める円は与えられた円に接するので、求める円の半径 $R$ は、2つの場合がある。

(a) 外接する場合: $R + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

(b) 内接する場合: $|R - \sqrt{5}| = 2\sqrt{5}$

(a) の場合、$R = 2\sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}$

(b) の場合、$R - \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ または $R - \sqrt{5} = -2\sqrt{5}$

$R = 3\sqrt{5}$ または $R = -\sqrt{5}$

半径は正なので、$R = 3\sqrt{5}$

したがって、求める円の方程式は、中心 $(2, 5)$ で半径 $\sqrt{5}$ または $3\sqrt{5}$ の円である。

半径が $\sqrt{5}$ のとき、

$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = (\sqrt{5})^2$

$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 5$

半径が $3\sqrt{5}$ のとき、

$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = (3\sqrt{5})^2$

$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 45$

3. 最終的な答え

$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 5$

または

$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 45$