双曲線の定義式 $\sqrt{(x+c)^2 + y^2} - \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$ から、双曲線の標準形 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2-a^2} = 1$ を導出し、さらに $c^2 - a^2 = b^2$ とおくことで、$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$を導く。

1. 問題の内容

双曲線の定義式 $\sqrt{(x+c)^2 + y^2} - \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$ から、双曲線の標準形 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2-a^2} = 1$ を導出し、さらに $c^2 - a^2 = b^2$ とおくことで、$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$を導く。

2. 解き方の手順

ステップ1: 定義式を変形する。

まず、$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} - \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$を$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a + \sqrt{(x-c)^2 + y^2}$と変形し、両辺を2乗する。

$(x+c)^2 + y^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + (x-c)^2 + y^2$

ステップ2: 式を整理する。

$(x+c)^2 + y^2 = x^2 + 2cx + c^2 + y^2$と$(x-c)^2 + y^2 = x^2 - 2cx + c^2 + y^2$を代入して整理する。

$x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + x^2 - 2cx + c^2 + y^2$

$4cx - 4a^2 = 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2}$

$cx - a^2 = a\sqrt{(x-c)^2 + y^2}$

ステップ3: さらに変形して整理する。

両辺を2乗する。

$(cx - a^2)^2 = a^2((x-c)^2 + y^2)$

$c^2x^2 - 2a^2cx + a^4 = a^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2)$

$c^2x^2 - 2a^2cx + a^4 = a^2x^2 - 2a^2cx + a^2c^2 + a^2y^2$

$c^2x^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2$

ステップ4: 標準形を導出する。

$c^2x^2 - a^2x^2 - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4$

$(c^2 - a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2)$

両辺を$a^2(c^2-a^2)$で割る。

$\frac{(c^2 - a^2)x^2}{a^2(c^2 - a^2)} - \frac{a^2y^2}{a^2(c^2 - a^2)} = \frac{a^2(c^2 - a^2)}{a^2(c^2 - a^2)}$

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2 - a^2} = 1$

ステップ5: $c^2 - a^2 = b^2$とおく。

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (ただし $b^2 = c^2 - a^2$)