点A(4,-2)から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

点A(4,-2)から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、接点を(x1, y1)とおく。

この接点は円周上にあるので、

$x_1^2 + y_1^2 = 10$ が成り立つ。

接線の方程式は $x_1 x + y_1 y = 10$ と表される。

この接線が点A(4,-2)を通るので、

$4x_1 - 2y_1 = 10$

つまり $2x_1 - y_1 = 5$

$y_1 = 2x_1 - 5$ となり、これを $x_1^2 + y_1^2 = 10$ に代入する。

$x_1^2 + (2x_1 - 5)^2 = 10$

$x_1^2 + 4x_1^2 - 20x_1 + 25 = 10$

$5x_1^2 - 20x_1 + 15 = 0$

$x_1^2 - 4x_1 + 3 = 0$

$(x_1 - 1)(x_1 - 3) = 0$

したがって、$x_1 = 1$ または $x_1 = 3$

$x_1 = 1$のとき、$y_1 = 2(1) - 5 = -3$

$x_1 = 3$のとき、$y_1 = 2(3) - 5 = 1$

接点の座標は(1, -3)と(3, 1)

接線の方程式は、

接点が(1, -3)のとき、$1x - 3y = 10$ つまり $x - 3y = 10$

接点が(3, 1)のとき、$3x + 1y = 10$ つまり $3x + y = 10$

3. 最終的な答え

接線の方程式：$x - 3y = 10$ , $3x + y = 10$

接点の座標：(1, -3), (3, 1)